Маленькая группа с табличкой

Помимо невообразимо гигантской группы кубика Рубика бывают показательными также и группы поменьше. Совсем маленькие группы (жесть) рассматривать неинтересно -- тривальная ({e}, *), где и e * e = e, но вот для комплексных чисел любопытно что можно составить что-то более-менее прикольное.

Комплексные ребята вводят штуку i и очень хитро обходят бытовое определение что i это "корень из минус единицы", просто говоря с виду похожее, но более непридирчивое "короче говоря, i это такая штука что i*i = -1", там потом дальше угорать можно и ваще жесть намутить, потом тоже про них напишу). Внезапно из такого правила потом приходится пересматривать всё что было до этого расписано и в буквальном смысле расширять понимание пространства

Если у нас есть множество Ы = {-1, 1, i, -i} и бинарная операция это то самое комплексное умножение, то можно поразвлекаться составлением так называемой таблицу Кэли: штука, описывающая какой результат получается когда бинарная операция группы применяется к её элементам. Я в этом вижу такой кивок в сторону дискретной математики от комплексной. Можно было начать с более простого примера с Ы = {-1, 1}, но я смел:

 * | -1 |  1 |  i | -i |
---+----+----+----+----+
-1 |  1 | -1 | -i |  i |
 1 | -1 |  1 |  i | -i |
 i | -i |  i | -1 |  1 |
-i |  i | -i |  1 | -1 |
---+----+----+----+----+

Прикол в том что нарисовав такую таблицу можно достоверно убедиться что никаких новых элементов не появляется, а заодно закрепить всякие нюансы выбранной бинарной операции (например вдруг мы взяли такую что она некоммутативна). Всё наглядно, все довольны, сам себя убедил, сам с собой договорился.

Кэли ещё настаивает в своих табличках, что то, что в табличке слева -- в клетках тоже должно быть слева:

 * |  a  |  b  |  c  |
---+-----+-----+-----+
 a | a*a | a*b | a*c |
 b | b*a | b*b | b*c |
 c | c*a | c*b | c*c |
---+-----+-----+-----+

Сам Кэли когда это всё вводил аж в 1854 году. В Австралии прокладывают первые железные дороги, Россия где-то там в Крыму даёт по жопе трукам, во Франции рождается Пуанкарэ, а Кэли херачит таблички чтобы разобраться чё там с группами вообще. Безудержное веселье.

Короче, если хотите почуствовать себя по-настоящему группиз, без табличек Кэли никуда