Когда из лжи следует истина
В бытовой речи люди часто ставят условия в духе если X -> то Y. Например, можно представить себе "если ты не уберёшь в комнате, подарков не получишь". В дискретной математике эта самая стрелочка называется импликацией и у неё забавные правила что если высказывание X ложно, а Y верно, то вся операция X->Y является истиной. То есть,
Пример 1.
Фея говорит золушке: "Если ты поступишь в физ-мат лицей, подарю тебе велосипед".
Высказывание X: поступление в физ-мат лицей.
Высказывание Y: велосипед куплен
Золушка может как поступить (тогда высказывание X истинно), так и не поступить (тогда высказывание X ложно). Велосипед может быть подарен (тогда высказывание Y истинно), так и не подарен (тогда высказывание Y ложно)
Основные комбинации-случаи ведут себя как в жизни:
- Золушка поступает в физ-мат лицей, ей дарят велосипед — исходное высказывание истинно, тут без обманов
- Золушка не поступает в физ-мат лицей, ей не дарят велосипед — исходное высказывание снова истинно, всё честно
- Золушка поступает в физ-мат лицей, но велосипед ей не дарят — ощущение обмана присутствует, исходное высказывание ложно
А дальше интересно, потому что в ситуации когда золушка не поступает, но добрая фея всё равно дарит ей велосипед — исходное высказывание всё равно истинно. Потому что ну нельзя же в таком случае сказать что кто-то вероломно соврал!
Пример 2. Для тех, кому не нравятся велосипеды
Принц говорит золушке: если ты от меня залетишь, я на тебе женюсь
- Золушка беременеет, принц на ней женится. Всё как договорились, исходное высказывание истинно
- Золушка не беременеет, принц на ней не женится. Ну, тут исходное высказывание ложно, хотя за Золушку немного и обидно
- Золушка беременеет, принц не женится и внезапно уезжает жить к дракону. Ну тут всё однозначно, принц повёл себя как козёл, исходное высказывание ложно, за Золушку обидно
Что происходит если Золушка не беременеет, но принц всё равно делает ей предложение? Ну, трудно сказать что он тут кого-то обманул, не так ли? Соврал ли он в таком случае? По-бытовому, да! Но если считать что это импликация, то вообще-то всё нормально, принц вполне честный благородный человек.
Пример 3. Для тех кто не любит золушек
Принц говорит себе: если завтра пойдёт дождь, продам все свои биткоины
(оставлен для самостоятельной работы)
Короче, получается что Импликация несмотря на дословную трактовку слова imply, "подразумевание", по бытовому вообще говоря означает не то же самое что "совсем формально". Логика не спрашивает, есть ли смысл в вашем "если-то". С точки зрения импликации ложь — это когда условие выполнилось, а обещание — нет. Все остальные варианты при этом чистая правда, даже если формальный здравый смысл немного такой wait whaaat. Поэтому математики так и настаивают на своём от "тогда и только тогда когда".
Если вы поняли этот пост, и сделали третий пример, то вы молодец. Если нет — вы всё равно молодец, потому что "Если не понял, то молодец" — это тоже импликация 😃