Умножение на часах: когда 4 × 5 = 8

Помимо сложения в модульной арифметике есть ещё более дикая штука — умножение по модулю. Да, на часах можно не только складывать, но и умножать. Звучит как математическое безумие, но пдждттк, давайте разберёмся.

Если взять циферблат и отматывать нужное количество раз множители, то мы получаем какое-то число на циферблате. Например, 4 × 5 ≡ 8 (mod 12). Почему? Потому что 20 в мире часов — это то же самое, что 8. Представьте, что вы хотите узнать, сколько будут показывать часы через 20 часов. Просто добавьте 8 к текущему времени, и вуаля!

Тут вспоминается детская загадка. Петю ночью разбудила собака и он пошёл с ней гулять, несмотря на дождь. Какова вероятно что через 72 часа будет солнечная погода?

Вот что ещё более прикольно, так это то, что помимо теоремы о сложении по модулю есть такая же для умножения:

Теорема:
x ≡ ξ (mod 12) и y ≡ λ (mod 12)
значит (x×y) ≡ (ξ×λ) (mod 12)

<u>Пруф</u>: Похожим образом как со сложением
x = 12a + ξ и y = 12b + λ
(где a и b — какие-то целые)

умножаем одно на другое
x × y = (12a + ξ) × (12b + λ)

раскроем скобки в правой части:
x × y = 144ab + 12aλ + 12bξ + ξλ

Сгруппируем:
12(12ab + aλ + bξ) + ξλ
12(...) делится на 12, остаётся только ξλ

Та-дам! Получается, умножение по модулю работает! Что? Зачем это надо? Ну, это уже другой вопрос 😁 Нам поможет догадаться загадка посложнее: «На что надо умножить 7, чтобы у того что получилось остаток от деления на 12 был равен 8?» Попробуйте решить это, не сломав мозг. При этом обратная операция проверки получается довольно просто, считать остаток довольно просто.

У меня устойчивая ассоциация что модульная арифметика в сравнении с обычной — это типа кулинария в параллельной вселенной. Вроде те же ингредиенты, но результат может удивить. Добавляшеь 5 к 8, получаешь 1. Умножаешь 5 на 4, а выходит восемь. Смешал муку с яйцом, получился рассольник. О мультивселенной ещё мало известно, Гарри, я твой отец, НЕЕЕТ, автоботы, это не те покемоны что вы хотите собрать.

Надеюсь, если вы носите часы, вы пару раз что-то попробуете поумножать что-то по модую 12, когда будете смотреть на циферблат, ведь там не просто время, там целый микромир безудержного арифметического веселья. Возможно, правда, станет сложнее понимать, что показано на часах (и это я ещё минутную стрелку не трогал!). Но мне кажется это малая плата за очередной способ увидеть скрытую красоту в обычных вещах.