Как вращать теоремы так, чтобы они меньше фрустрировали

Метод 3. Контрапозиция

Всё ещё та же теорема Лагранжа:

P: H — подгруппа конечной группы G
Q: Порядок H делит порядок G

Сама теорема: P → Q
Обратная импликация: Q → P (которая, как мы выяснили, не всегда работает)

А теперь — барабанная дробь 🥁 — встречайте контрапозицию: ¬Q → ¬P

Что за чёрт, спросите вы? А вот что:

¬ — это "логическое отрицание". Например, если P это "число делится на три нацело", то , ¬P это "число НЕ делится на три нацело".

Контрапозиция "переворачивает" 🙃 теорему, отрицая обе её части.

На нашем примере это звучит так:
"Если число не делит порядок группы G, то оно не может быть порядком никакой подгруппы G".

И вот тут начинается настоящая магия: это утверждение всегда верно, потому что оно логически эквивалентно исходной теореме. Прямо как перевернутый вверх ногами человек — выглядит странно, но это всё ещё тот же человек!

Давайте проверим на нашей любимой группе Z₁₂ (целые числа по модулю 12, порядок |Z₁₂| = 12):

• 5 не делит 12, и — сюрприз-сюрприз — подгруппы порядка 5 в Z₁₂ нет.
• 7 тоже не делит 12, и подгруппы порядка 7 в Z₁₂ мы тоже не найдём. А какого порядка должна быть группа чтобы в ней могла бы быть подгруппа порядка 7?

Контрапозиция всегда на страже логики, как бдительный вахтер в НИИ Теории Групп или какой-нибудь вышибала в математическом клубе.

В следующий раз, когда теорема покажется вам неприступной крепостью, попробуйте зайти с чёрного хода контрапозиции — иногда там даже табличка "Welcome" висит. А если повезёт, то и фуршет для особо упорных фанатиков-математиков организуют 😋