О важности
Пока все точки были одинаково важны, но в жизни-то гораздо чаще мы выбираем что-то из вариантов, среди которых могут быть какие-то более весомые.
Поэтому чаще некоторые точки важнее других. Может, мы больше доверяем каким-то измерениям? Или знаем что какие-то могут быть ошибочными? Или, мы просто очень бывать в какой-то части координатной плоскости, и нам ну очень надо выделить какие-то точки и подойти к ним "поближе"?
Такую прямую уже сложнее провести "на глазок", потому что сама задачка становится чуть более замысловатой!
Чтобы это всё учесть, к точкам добавляют веса. Суммарная ошибка превращается в такое вот выражение:
Σwᵢ(yᵢ - (kxᵢ + s))²
где wᵢ - "вес/важность/вклад" i-той точки.
Если wᵢ = 1 для всех точек, мы получаем случай который уже разбирали. А если какой-то точке дать больший вес, линия теперь будет стараться пройти ближе к ней.
Ну и другая тут мысль, что ну, вообще говоря, мы не то чтобы сильно привязывались к прямым когда это всё выводили. Тот же подход можно применить и к параболе:
Вместо прямой у нас
y = ax² + bx + c
Взвешеные веса тогда:
Σwᵢ(yᵢ - (ax²ᵢ + bxᵢ + c))²
Всё остальное такое же. Но предсказуемо на глаз провести уже сложнее.
И вообще, как несложно догадаться, так можно к любой другой функции применить минимизацию ошибки, чтобы "подогнать" функцию под точки.
Единственное требование — чтобы функция была гладкой. Потому что когда функция гладкя, то точно можно найти её минимум через производные.
А веса часто берут обратно пропорциональными "сомнительности" точек. То есть, если мы в 2 раза меньше доверяем какой-то точке, даём ей вес 1/2. Если в 10 раз меньше — то вес 1/10.
Так как это "множитель", а множитель по-английски factor, то иногда это так и называют "учтём точку X с фактором 1/10".
А вообще такой подход называется взвешенным методом наименьших квадратов (weighted least squares).
А можно ещё пойти дальше и автоматически определять веса, глядя на то, насколько точка "выбивается" из общей картины, или использовать другую функцию минимизации. Или ещё кое-что, тут ещё столько идей, столько идей!