Hexagons are the bestagons!

Вообще, гексагональная симметрия это офигенная штука. Даже пчёлы это знают, и не потому что они тайные масоны 🐝
Я вот люблю когда в настолках гексагональные поля, так всегда интереснее.

На плоскости есть такой факт что если нужно замостить её одинаковыми правильными многоугольниками без щелей и наложений, то у нас есть только три варианта: треугольники, квадраты или шестиугольники. Короче, плитки паркета могут быть по указанным правилам только такими. И среди них шестиугольники самые экономные — дают максимальное отношение площади к периметру.

Посколько у нас есть формула шнурка то можно посчитать для фигуры со стороной 1. Координаты ниже:

Треугольник: площадь ≈ 0.433, периметр = 3, отношение ≈ 0.144

S = 1/2|0×0 + 1×0.866 + 0.5×0 - 0×1 - 0×0.5 - 0.866×0|
  = 0.433...

Квадрат: площадь = 1, периметр = 4, отношение = 0.25

S = 1/2|0×0 + 1×1 + 1×1 + 0×0 - 0×1 - 0×1 - 1×0 - 1×0|
  = 1/2|0 + 1 + 1 + 0 - 0 - 0 - 0 - 0|
  = 1

Шестиугольник: площадь ≈ 2.598, периметр = 6, отношение ≈ 0.433

S = 1/2|1×0.866 + 0.5×0.866 + (-0.5)×0 + (-1)×(-0.866) + (-0.5)×(-0.866) + 0.5×0 
      - 0×0.5 - 0.866×(-0.5) - 0.866×(-1) - 0×(-0.5) - (-0.866)×0.5 - (-0.866)×1|
  = 2.598...

При одинаковой длине стороны шестиугольник даёт максимальное отношение площади к периметру. То есть на одну и ту же площадь сот уходит минимум воска. А природа любит оптимизацию! Ну, когда она легко даётся, по жадному алгоритму.

Хотя на самом деле, есть и более экзотические способы замостить плоскость — например, в квазикристаллах. Но это немножко другая история...