Повороты и комплексные числа
Я два дня подряд ржу над офигенной шуткой, которую самое место сюда бы закинуть, но надо сначала дать матчасть 🤘
Знаете вот этот способ повернуть точку в двумерном пространстве? Там всё просто -- чтобы сделать поворот, надо просто знать, на какой угол! В школе некоторых из нас (не меня точно) даже может учили записывать это через матрицу поворота:
┌ cos θ -sin θ ┐
└ sin θ cos θ ┘
И это... ну, работает, но неудобно. На школьном уровне если такое объяснять, то тут нормально даже не расскажешь что это и зачем так. Это во-первых. Ещё четыре числа таскать вместо одного угла, это во-вторых.
Ну и в третьих, если поворотов несколько подряд, то ученики кидаются неумело перемножать матрицы для последовательных поворотов — то ещё удовольствие.
В школьной программе вообще обычно не доходят дальше банальных поворотов ±90°, которые можно и просто перестановкой координат получить:
Типа положительный поворот на 90° будет
(x, y) → (-y, x)
Ну и всё, дальше обычно в школе не идут. В крайнем случае стрелочку можно несколько раз применить, чтобы получить нужный поворот.
Если вы не попробовали представить в голове работает эта перестановка или нет, то советую проверить есть у вас вообще душа или нет?
Но любой укушенный математикой человек скажет, что на плоскости куда логичнее объяснять повороты через комплексные числа! 🏴☠️ типа всё становится элегантнее и _удобнее _и «поворот на угол θ это вообще умножение на e^(iθ), не понимаю почему этого не рассказывают в школе»! Если вы столкнулись с таким в реальности, то где-то тут надо обязательно присмотреться к этому внезапному математическому собеседнику, не начала ли у них пена изо рта идти. Но шуток кроме, в целом они правы (просто уберите их от детей на всякий случай).
То есть:
1️⃣ Точка _(x,y) _может представлена как комплексное число x + yi
2️⃣ Поворот на θ это умножение на cos θ + i·sin θ. А по формуле Эйлера это то же самое что домножение на e^(iθ)
3️⃣ Последовательные повороты - просто умножение чисел
Итого рецепт: чтобы повернуть точку (x,y) на угол φ, берём её координаты как комплексное число z = x + yi и умножаем на e^(iφ) = cos φ + i·sin φ.
Красивая мысль что раз у экспоненты коэффициент комплексный то она не меняет никаких расстояний, что является необходимым условия что это вообще поворот и никаких расстояний не портит.
И это я всё ещё мем пытаюсь объяснить который очень угарный, да
Ещё рандомный факт:
Любимая приколюха некоторых математических туристов это то. что
e^(iπ) + 1 = 0
Но это на плоскости. В 3D же всё становится... интереснее. Нам понадобится простой советский... четыре измерения и немного магии от Гамильтона 🕺