Четыре способа описать мир: от математики до машинного обучения

Так-то всем понятно, что есть разные способы понимать мир. Но я хочу порассуждать не про философский смысл (хотя и там тоже так), а в смысле "как мы описываем и предсказываем явления". И можно в целом взять такой спектр подходов где будут и классическоая математика и "современные" методы машинного обучения. Я тут подразумеваю какие-то физические или инженерные способы познания мира, типа там химия-физика-машиностроение.

Вот пара заметных холмиков на этом спектре, которые скорее ассоциируются с "докомпьютерной" наукой.

1️⃣ Чистая аналитика: когда формулы решаются на бумажке

Это классический подход — когда явление описывается изящным уравнением, которое можно решить аналитически (то есть с ручкой и бумагой, без компьютера, без калькулятора, без логарифмической линейки, без таблиц брадиса, без абакуса).

Например, траектория брошенного камня, простой маятник или базовые электрические цепи. Задачники физики полны таких примеров, где элегантное решение получается в худшем случае через цепочку интегралов или диффуров, а то и без них.

Да даже без физики, та же формала решения квадратного уравнения через дискриминант — это как раз то самое аналитическое решение.

Это красиво, это точно, но это работает только для малого класса систем, к тому же часто довольно простых. Стоит добавить пару переменных или нелинейность — и привет, аналитическое решение становится невозможным. Для особо обидных случаев есть специальная фраза: "нет решения в квадратурах" 🤷‍♂️

2️⃣ Приближения: когда знаем законы, но вынуждены упрощать

Тут мы вроде бы понимаем фундаментальные законы, но система слишком сложна для точного решения. Физики обожают такую штуку, потому что у них любовь делать далеко идущие выводы из граничных точек, и они этому классно тренируются. Тут приходится идти на компромиссы с формализмом: теория возмущений, асимптотические методы, разложения в ряды и прочие математические хитрости.

Классический пример, который у всех на слуху — задача трёх тел. Мы точно знаем закон гравитации (или электричества), но точное аналитическое решение для трёх взаимодействующих тел? Увы.

Такой подход породил несколько прикольных историй из серии "физикам надо было тут что-то записать, они чёт придумали, оно сработало, математики удивлённо чесали репу, потом появилась новая область математики". Так как я считаю себя больше физиком, нежели математиком, то я, конечно, обожаю такие истории.

Такой подход даёт приближённые, но интерпретируемые результаты. Мы вможем не понимать "как посчитать в сложной части", но зато всё ещё понимаем, что происходит внутри "чёрного ящика" и "как эта штука ведёт себя в особых точках". А иногда можно удачно всё переформулировать что и эти особые точки оказываются полезными чтобы найти что-то более-менее аналитическое.

—
В этом месте я предлагаю мысленный эксперимент — подумать о том, какие ещё могут быть подходы (естественно, их необязательно должно быть именно четыре), и в чём их особенности с точки зрения, например, таких факторов:

• интерпретируемости формулировок
• интерпретируемости решений
• простоты вычислений
• точность результата
• ограниченность решений

А я пока пойду чайку выпью ☕️