Пружинковый маятник

он же "гармонический осциллятор"

Прежде чем дёргать за что-то нелинейное, давайте договоримся с обычным линейным режимом пружинки. Тот который вот растянули — отпустили, а она колеблется, постепенно замедляясь. Физики называют это "линейным осциллятором" — базовой моделью для множества явлений: от маятника часов до атомов в кристалле. Гитаристы, мне рассказывали, тоже любят когда у них усилитель в линейном режиме.

В школе учат, что сила упругости пропорциональна смещению:
F = -kx,
где k — жесткость пружины,
а x — смещение. Знак минус означает, что пружина стремится вернуться в исходное положение. Кстати, хороший способ проверить чуйку семиклассника, это спросить единицы измерения коэффициента жёсткости и посмотреть сможет ли он вывести это в уме. Если сможет — наш человек, физик. Если подтянется за бумажкой с ручкой — ну, что же, математики тоже люди.

По второму закону Ньютона (это который F = ma) и зная что ускорение это скорость изменения скорости изменения координаты, можно записать:

m(d²x/dt²) = -kx

Правда, когда начинаешь так записывать, пора уже и честь знать, поэтому перепишем всё в привычном виде:
m(d²x/dt²) + kx = 0

Это уравнение — то самое, которое в университете назовут "дифференциальным". d²x/dt² — ускорение, вторая производная координаты по времени.

Решение школьников обычно выводить не просят, но науськивают узнавать это уравнение в общей форме, потому что тут решение колебательное, а значит какая-то тригонометрическая функция. В общем виде выглядит так:
x(t) = A·cos(ωt + φ)

Пружинка колеблется с частотой ω = √(k/m) между A и -A. Самое уравнение очень жизненное:
➡️Жощще пружина — выше k, быстрее колебания
➡️Больше масса m — медленнее колебания

В такой модели как-то опускается что пружинка рано или поздно останавливается. Чтобы это учесть, надо ввести например трение, но это уже не очень школьный уровень:

m(d²x/dt²) + b(dx/dt) + kx = 0

где b — коэффициент трения, а dx/dt — скорость. Но такое уравнение решать, как говорится, умеют уже не только лишь все, поэтому обычно детям его не показывают

Ну вот а Дуффинг, собственно, решил не ограничиваться условностями и стал добавлять другие элементы в это уравнение, но об этом уже в другой заметке