🍎 🍐 Коммутативность, некоммутативность и кубик Рубика

Вообще, одна из _бытовых польз _математики в целом и алгебры в частности это тренировка навыка задумываться об общепринятых вещах. Одна из них называется коммутативность. Полубытовое определение словами:

Какая-то бинарная операция * коммутативна когда можно переставлть местами элементы с её участием, то есть для любых двух элементов a и b будет верно a*b = b*a. здесь звёздочка это не деление, а формально только бинарной операции мало и надо и с множеством связывать а то мало ли что, но поэтому определение и полубытовое

На первый взгляд, для большиства _обычных _операций коммутативность как бы дана: для сложения и умножения как будто так и есть: quick maths, 2 + 5 = 7 и 5 + 2 = 7, да и с умножением тоже работает.

На второй взгляд 🧐 быстро находится бинарная операция для которой это не выполняется. Привет, деление: 2/7 это не то же самое что 7/2. Во всяком случае при прочих "нормальных условиях" , а пока мы не уверены в своих силах, коммутативное деление лучше отложить. С вычитанием, кстати, та же фигня: вычесть 10 из 5 не то же самое что вычесть 5 из 10

А на третий взгляд 👀 можно начать задумываться и в другую сторону — что если операции взять те же, а объекты другие? Вот вектора на плоскости и в пространстве можно складывать и ничего не поменяется от порядка, а умножать надо уже аккуратно. Чё там ещё? Ловите лайфхак как удивить своими знаниями знакомого технаря: спросите, коммутативны ли квартернионы а потом попросити объяснить почему. Безудержное веселье (хотя бы одному из собеседников) обеспечено! 😁

И вот, по-хорошему, как в карате тренируют правильный угол наклона 🥋 при приветствии сенсея, так и первокура-технаря постоянно тренируют задаваться вопросом "а можно тут так делать?" и "а что нужно чтобы можно было?". А вы говорите, ничего общего у боевых искусств и матеши: уважение к математическим объектам которое при этом появляется у студента, сравнимое с уважением к сенсею у каратиста можно счесть за забавный сайд-эффект! Хотя, по крайней мере математический объект не заставит тебя отжиматься на кулачках

Хороший пример **некоммутативного **из геометрической мультивсленной -- кубик Рубика. Полноценно-формально похоже разберём 😏 уже в следующей заметке, но даже если у вас под рукой нет этой_ машины безудержного веселья_, можно докумекать что разный порядок вращения граней приводит нас к разному конечному результату

Это немножко посложнее треугольников, которых мы крутили недавно, но похоже, я верю, докумекать получится. А ещё можно догадаться что и обратное действие есть. И идентичность. Она пригодится, чтобы проверить какие из комбинаций вращений не меняют состояния кубика.

Кстати, мой любимый метод сборки это метод Ларша Петруса https://lar5.com/cube/, посмотрите как минимум на залипательные анимации на сайте. Залипательно! Алгоритм Петруса минимизирует количество манипуляций, которые нужно сделать чтобы собрать кубик
_
Кстати_, модификаций соревнований о сборке кубика очень много, они странные, и я уверен, при первом знакомстве со списоком хотя бы какая-то одна точно повеселит: https://en.wikipedia.org/wiki/Rubik's_Cube#Records или как "на что они тратят свою жизнь" или как "вот уж у кого безудержное веселье, хочу так же!"

Кстати, распространённый миф, что Рубик придумал кубик потому что хотел научить своих студентов комбинаторике, так вот! Считается что на самом деле в первую очередь этот венгр решал инженерную задачу создать сложный механизм с кучей подвижных частей, а головоломка получилась когда он случайно перемешал прототип и не смог собрать его обратно. Тут-то в комнату и ворвалась и комбинаторика и теория групп за ней

Кстати-лимит кончился, поэтому сворачиваемся.
🧑‍🏫 Если кубика Рубика нет под рукой, призываю попробовать понаблюдать за собой пару дней и поискать среди них повседневных действий как **коммутативные **так и некоммутативные: порядок применения к себе шампуня и геля для душа, надевание штанов и носков, сначала кофе потом молоко и так далее. А про кубик мы ещё поговорим, он клёвый, близко к Богу