Как вращать теоремы так чтобы они меньше фрустрировали

Способ 1. Искать "подвысказывания"

Из серии «жалею что узнал об этом так поздно, сэкономил бы себе кучу сил»: чтобы меньше бояться теорем и доказательств, есть одна хитрость: научиться формулировать к ним обратные штуки по специальным правилам. Два основных — это обратная импликация и контрапозиция. Звучит как заклинание, но на самом деле это просто способ посмотреть на ту же теорему с другой стороны. Освежим для начало просто навык нахождения логических высказывнаий в самой теореме.

Чтобы пояснить и закрепить на практике, возмьём простую теорему Лагранжа. Она звучит так:
для любой конечной группы G и её подгруппы H, порядок H делит порядок G.
По-математически можно вообще кратко написать: |H| | |G|.

Здесь "делит" значит буквально "делит", а порядок значит "количество элементов", ну то есть если мы опять смотрим на часы, то у G 12 элементов, а подгруппа H должна иметь столько элементов, чтобы это число было делителем 12.

Если теперь найти в этой теореме два утверждения P и Q, то можно сформулировать её как импликацию P → Q. Тут всё просто:

P: H — подгруппа конечной группы G
Q: Порядок H делит порядок G

Итак, теорема Лагранжа, снова: P → Q. Или по-человечески: "Если H — подгруппа G, то порядок H делит порядок G".

Полезный, и неудвительный способ проверить теорему — поискать понятный пример. Например, из модульной арифметики возьмем группу Z₁₂ (целые числа по модулю 12) — это те самые наши обычные часы с обычный 12-часовым циферблатом. Её порядок |Z₁₂| = 12.

Подгруппы Z₁₂ (представьте, что это стрелки на часах):

{0} (порядок 1) — стрелка всегда на 12
{0, 6} (порядок 2) — стрелка прыгает между 12 и 6
{0, 4, 8} (порядок 3) — стрелка движется 12 → 4 → 8 → 12
{0, 3, 6, 9} (порядок 4) — стрелка идет 12 → 3 → 6 → 9 → 12
{0, 2, 4, 6, 8, 10} (порядок 6) — четные часы
Z₁₂ сама (порядок 12) — все часы

Все порядки делят 12, как и обещал Лагранж!

Так что первый трюк в следующий раз, когда увидите страшную теорему — найти в ней P и Q, и сформулировать как импликацию, а потом поискать пример. Не знаю как часто вы видите страшную теорему, но тут лучше быть готовым чем не быть. Искать подобные "компоненты" ещё и весело. Рекомендую.