Как вращать теоремы так чтобы они меньше фрустрировали

Метод 2. Обратная импликация

Для проверки своей интуиции из исходного утверждения теоремы можно сконструировать обратную импликацию. Это когда следствие с аргументом меняются местами. Для теоремы Лагранжа

P: H — подгруппа конечной группы G
Q: Порядок H делит порядок G

Сама теорема_:_ P → Q.
Обратная импликация: Q → P. Чтобы подсветить пример, я чуток подправлю высказывание:
"Если подмножество H имеет порядок d, который является делителем порядка G, то H это подгруппа G"

И по-хорошему тут надо как раз притормозить и подумать: правда это или нет? Для того чтобы такое утверждение уличить во лжи, достаточно собрать один пример, который его опровергнет.

Например, для группы деления по модулю на 12 можно взять 2, 4, 5, 7 и они даже не включают единичного элемента, не удовлетворяют замкнутости, да и вообще получается единственное что роднит их с G это сами элементы и то, что их количество 4 это делитель количества элементов в G. В большинстве случаев обратная импликация будет ложной, да, но тут сила в "докрутке" высказывания — в примере который я выбрал, например, оно помогает указать на разницу между подгруппой и подмножеством.

Это упражнение — отличный способ потренировать свое математическое мышление. Как и в жизни, в математике не всё работает в обе стороны. Иногда дорога туда не равна дороге обратно, и дополнительная формализация может уберечь вас от многих логических ловушек. Ну и в конце концов, это просто хорошая математическая гимнастика.