Три способа начать думать про алгебру

Математика — царица и служанка всех наук, но для простоты оставаясь на алгебре, какая картинка рисуется в голове при словах «заниматься алгеброй»? Для большинства людей первое что вспоминается это то с чего они с алгеброй знакомились, чаще всего это было например в школе в духе "решать уравнения и неравенства", или, если повезло нюхнуть пороха в универе то это какие-то кольца, групы, поля. Редко кому начинаются представляться симметрии — это уже какое-то продвинутое кунгфу, жутко полезное и красивое, но с него обычно не начинают как (возможно, зря). Многим кажется что-то страшное и пугающее, типа "заниматься алгеброй" = "с тобой творят какое-то непотребство"

Получается есть три захода в начала предмета и его основные принципы (назовём их формальный, инженерный и геометрический), есть, получается, преподаватель который преподаёт в каком-то из этих стилей, и есть студенты, каждый из которых вероятно, наиболее восприимчив к какому-то одному стилю: если бы всем подходил один и тот же, не было бы вопроса разных способов объяснить одно и то же

Алгебра при этом так преуспела в своей красоте и пользе абстракций, что потихоньку в том или ином виде протекла и в другие предметы, и в школьную программу. И вот это вот «с математикой у меня ещё в школе было плохо» оно от какого-то растёт болезненного несочетания предпочтительного способа начать её учить. Почему-то (на самом деле понятно почему, но об этом в другой раз, но например, говорят, это где-то после Бурбаки пошло) господствующий стиль как раз формалистский, требующий гнетущей нагрузки на мозг студента, но зато позволяющий быстро "проскочить все формальности и начать объяснять предмет", зацените:

Замкнутость это такое свойство множества G что для любых двух элементов g1 и g2 и выбранной бинарной операции *, элемент g1 * g2 будет тоже внутри множества G.
Несложно растеряться в такой ситуации_,_ а лектор уже дальше фигачит определения под молчаливое одобрение твоих соседей в аудитории. Обычно в этот момент мысль "Куда я попал" и появляется в голове первокурсника. Универ-то в этой зарисовке был выбран по принципу типа ну у меня хорошо со школьной математикой, и мне нравится играть в компьютерные игры, пойду на факультет прикладной информатики, там меня научать игры программировать, да? Ведь да?

Самое прикольное что об этом невозможно практически говорить с теми кто математику преподаёт, потому что вот ну что ты скажешь? Во-первых, чтобы они тебя слушали ты уже сам сначала должен пройти какой-то путь и эти все сложности начала как будто отпадают (вместе с одногруппниками которые не смогли), и что предмет ну да, не для всех, ну и ведь ну вот что вы пристали с этой замкнутостью, вы ещё до замыкания докопайтесь, это же важное определение для дальнейших выкладок! Во-вторых, они и не преподаватели а учёные на кафедре (удобно переложили, да?) и вообще их так учили и они смогли и даже ты вот выучился и тоже с нами тут говоришь на одном языке так что чё вообще обсуждать-то

Так и живём — вместо замкнутости в алгебре наблюдаем замкнутость среди студентов