Группа. Формальный подход
Я тут скачу по обобщениям, переходя от математике к алгебре и обратно, но вот такой вот я человечек, что поделать
В отличие от меня, в преподавании алгебры в целом "все" пришли к соглашению, что начинать нужно с теории групп. Конечно, есть и другие заходы, но без теории груп никуда, и иногда весь курс может из неё и состоять, особенно у программистов, которые побыстрее хотят свои "монады" друг другу тыкать а не алгебру Ли обсуждать
Так вот, три подхода: формальный, инженерный и геометрический. Чтобы их сравнить, нужно подробнее рассмотреть, что они из себя представляют, например, на примере определения, собственно, группы.
Начну с формального подхода. <u>Потерпите абзац, тут главное общее ощущение (но не отказывайте себе в удовольствии позалипать на детали, молю!)</u>
Определение. Группа это множество G вместе с бинарной операцией *, которая (которое? кто здесь?) удовлетворяет критериям:
1️⃣ Замкнутость: для любых a, b из множества G результат операции a * b тоже принадлежит G
2️⃣ Ассоциативность: для любых a, b, с из множества G выполняется равенство (a * b) * c = a * (b * c)
3️⃣ Идентичность: внутри множества G существует элемент e такой что для любого элемента a из этого множетсва G выполняется e * a = a * e = a
4️⃣ Инверсия: для каждого элемента a из множества G существует элемент b такой что a * b = b * a = e
⚠️ звездочка * тут не умножение а именно какая-то бинарная операция, а все эти а,b,c,g не факт что числа, но можно пока считать и так, главное не жениться с этим понятием
Это уже за гранью выносимого, неявно идёт что в каждом пункте a и b — разные ребята, большие буквы отличаются от маленьких, равенство определено, все требования подразумеваются по порядку и так далее. Упёртые ещё начинают ворчать, что нужно определить более фундаментальные основы, но надо же где-то в лестнице из черепах сказать себе 🛑 СТОП. У людей уже есть опыт работы с числами, можно это использовать.
В чем плюсы и польза формального подхода?
Ну, во-первых, в отношениях лектор-студент сразу закрепляется кто здесь батя (и это не студент). А если студент с такого не приуныл то значит студент раньше уже это видел, я гарантирую это.
Во-вторых, после такого определения — а оно реально обычно прям самое первое, вот 1 сентября в 9:00 мелом/маркером на доске пишется, ну может после фамилии-имени преподавателя — в таком подходе дальше идут теоремы и определения и так тебя не разгибают ну примерно первые 12 лекций. Таким образом у студента воспитывается вот этот последовательный аксиоматичный стройный подход где всё лежит на полочках красиво и всё такое аккуратненькое ух!
В-третьих, быстро вводятся нужные символы и "выразительность на символ" делает записи чётенькими и лаконичнымы, красота!
Ну и _бонусом _— можно быстро "передать студентам" материал для обсуждения более глубоких тем, до которых иначе пришлось бы долго идти.
❓Надо ли это студенту? Может ли студент это впитать с нужной скоростью? Умеет ли студент держать всё это в голове в течение курса?
Вопросы риторические, но эта заметка уже длинная, соррян
поэтому продолжение завтра