Панки-математики в теории групп

зачем нам нужны панки — выше

У не-математиков есть подспорье: им неявно панки-физики 💃🏴‍☠️🕺 показывают как можно про это всё думать не улетая с каждого шага в высоту математических абстракций

Основной подход **инженерного **подхода — в решении задач и решении уравнений. Очень удобно что студенты уже умеют их решать в каком-то виде! Иногда везёт и лектор-математик, зная что его слушают студенты-физики, может сжалиться и дать им более понятный инжереный подход к рассуждению о тех же концепциях, как делают, например, в курсе дифференцальных уравнений (подсказка в названии — дифференциальные уравнения)

Забудем всю эту муть с определениями 💁‍♂️, говорят нам панки, вот у вас есть уравнение: x + a = b, как решать будем?

Из школы мы знаем, что это x = b - a, а почему так можно? Что нам нужно предположить, чтобы быть уверенными что так можно делать? 🎒

Если подумать можно дойти до мысли что "окей, у нас должно быть вычитание помимо сложения". Про вычитание тут грамотный лектор поправит "давайте говорить не _вычитание _а сложение с инверсивным элементом" 🧠, заодно инверсивный элемент введём: типа что у любого a должно быть инверсивное -a, да такое что с ним можно складывать

И вот студент уже начинает раскручивать дальше всё что надо 📝 Разбивая всё дальше на маленькие кусочки можно вывести, собственно все нужные требования, главное ничего не пропустить:

x + a = b
⇒ (x + a) + (-a) = b + (-a) [1]
⇒ x + (a + (-a)) = b + (-a) [2]
⇒ x + 0 = b + (-a) [3]
⇒ x = b + (-a) [4]

[1] добавили (-a) в обе части
[2] перекинули скобки слева
[3] заметили что a + (-a) = 0
[4] заметили что x + 0 = x

Студентов такая простота подкупает, и задача лектора прям концентрировать студентов в моменте на валидности всех действий. Как-то так:

🧑‍🏫 Мы тут как будто здесь сказали что это числа, соотнесём внимательно с формальным определением, взять числа и в качестве бинарной операции ➕ сложение. Тогда волшебно ✨ найдутся все эти требования, главное посмотреть в промежуточные шаги [1-4]:

Инверсия обеспечивает нам то, что вообще существует -a, bи мы это используем в [1] и потом в [3] чтобы сложить a + (-a) и получить 0
Идентичность: 0 нам кстати наш элементарный элемент в сложении: для любого числа g справдливо что g + 0 = 0 + g = g. Помогает нам в [4]
Ассоциативность нам нужна чтобы перебрасывать скобки в [2]

Результат наших манипуляций это решение и мы хотим чтобы это решение тоже имело право быть, то есть b + (-a) из последней строчки было тоже числом. Для этого нам нужно как раз наше последнее свойство замкнутости

⚠️ тут же можно заметить что если бы вместо нашей бинарной операции было умножение ✖️, и мы бы оперировали с матрицами а не числами, тут были бы совсем другие требования для объектов.

🛠 Инженерный подход можно назвать "подход решателей уравнений", и в этом его и сила и слабость
Во-первых, хорошо опирается на том что студенты и так уже знают
Во-вторых, фокусирует изучение математики на рефликсии вида "а так можно делать тут вообще?"
В-третьих, сразу же обосновывает теорию — достаточно ввести новое уравнение, которое нельзя решить существующими методами и вот вам обоснование нового подхода
В-четвёртых, подход чуть лучше уравнивает студента и лектора, и помогает студентам растить те самые los cojones 💪

Минусы тоже есть, но они более субъективны. Чтобы не возмущать панков о них в следующем кусочке 🏴‍☠️