Все эти аксиомы можно развернуть и сделать определениями, например:

Некоторое множество S является замкнутым относительно бинарной операции * тогда и только тогда, когда для него справедливо что ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ S, 𝛼 * 𝛽 ∈ S.

И подобным образом ввести все необходимые определения, а потом свести к тому, что группа — это пара (множество, бинарная операция) у которой есть свойства замкнутости, ассоциативности, есть нейтральный элемент, и есть обратный элемент

Для того чтобы такое определение "щёлкнуло", надо, чтобы эти определения были в голове студента, поэтому так обычно не делают: проще сразу расписать и аксиомы и определить группу и потом уже пойти дальше. Кстати, хорошее упражнение при встречи с любым определением — посмотреть на другие сочетания типа является ли (ℤ, /) группой или какие из аксиом ломаются и где.

Мне нравится представлять что в устаканившихся областях математики такие определения, аксиомы и теоремы наслаиваются друг на друга в цепочки последовательных утверждений, и потом уже как такие большые каменные великаны начинают махаться друг с другом, строго по правилам теории и в рамках отведённого задачей ринга