Аксимоы, определения, символы и закорючки

Оказалось, что гораздо больше математических символы являются полноценной часть юникода, чем я себе думал и, получается, их можно использовать в тексте, не используя никаких дополнительных эмодзи. Возвращаемся к группам! 👏

⚠️ Если что-то ниже не отображается нормально — пишите со скриншотом ассистенту, контакт в описании канала

В формальном определении группы было четыре правила-признака: если штука, на которую мы смотрим, им всем удовлетворяет — то это группа, если нет — значит не группа. Чтобы точно отличать математические определения от повседневных, такие правила ещё называют аксиомами. Смысловая идея в том, что "ниже" аксиом рассуждения не опускаются, на аксиомах строятся определения, из определений и аксим собираются теоремы, из теорем строится теория. Как-то так устроены эти черепахи.

Группа это какая-то пара (множество, бинарная операция) и эта пара удовлетворяет четырём аксомам. Часто под бинарной операцией подразумевают сложение, а под множеством — множество целых чисел. Хотя вообще всегда полезно проговаривать явно что же имеется в виду, в конце концов точная у нас тут наука или как.

Благодаря (или из-за) Бурбаки есть специальные символы для обозначения различных популярных множеств когда мы имеем дело с числами. Множество натуральных чисел ℕ, рациональных ℚ, а множество целых чисел обозначается как ℤ. В ближайшее время я буду в основном про последнее рассуждать: это все целые числа и ноль. Вы без труда их узнаете: -100, -1, 0, 15, 24, и так далее

Поэтому, группа на множестве целых чисел (отрицательные, ноль, положительные) под операцией сложения обозначается как (ℤ, +).

Можно все аксиомы группы конкретезировать и проверить что они выполняются, но уже не словами а преимущественно в математических закорючках
**
1️⃣ Замкнутость**. ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℤ, 𝛼 + 𝛽 ∈ ℤ
Читается вслух это как "Для любых двух элементов альфа и бета из множества целых чисел их сумма будет принадлежать множеству целых чисел"

Начинаешь ценить компактность, когда сравниваешь количество символов!

Одной из важных подмог при изучении математики — проговаривать вслух эти определения чтобы избежать воспроизведения без понимания. Думаю, никто не спорит с тем что лучше знать меньше, но понимать это всё, чем знать больше но быть скорее эдаким LLM-попугаем 🦜

Аналогично кратко можно записать и остальные аксиомы. Я предлагаю такое развлечение: смотреть на выражение, проговаривать его, тыкать в спойлер, сравнивать ответ. Напоминаю правила произношения:

∀ — значит "(для) любой/любое/любая" (for any)
∈ — значит "принадлежит"
∃ — значит "существует" (there is/exitsts)
ℤ — множество целых чисел, включая ноль

Хинт: упражнение на займёт времени больше, чем закипает чайник.