Кольца

В моём инфополе есть люди, которые смотрят сериал "Кольца всевластия" (в основном ругают бездарный сюжет), поэтому почему бы не рассказать про нормальные кольца, которые можно даже на палец не надевать но крутить в голове, м? Группа у нас была парой, а кольцо — тройка. Просто взяли и добавили ещё одну операцию. Давайте сначала вместе испугаемся от определения:

Кольцо это тройка "какое-то множество" и две бинарные операции (S, +, *), — причём их сразу обычно называют сложение и умножение — такие что:

1️⃣ Замкнутость сложения
∀ 𝛼, 𝛽 ∈ S,
(𝛼 + 𝛽) ∈ S

2️⃣ Ассоциативность сложения
∀ 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ S,
(𝛼 + 𝛽) + 𝛾 = 𝛼 + (𝛽 + 𝛾)

3️⃣ Нейтральный элемент для сложения
∃0 ∈ S такой что
∀𝛼 ∈ S, 0 + 𝛼 = 𝛼 + 0 = 𝛼

4️⃣ Обратный элемент для сложения
∀𝛼 ∈ S, ∃(-𝛼) ∈ S такой что
(-𝛼) + 𝛼 = 𝛼 + (-𝛼) = 0

5️⃣ Коммутативность сложения
∀ 𝛼, 𝛽 ∈ S,
𝛼 + 𝛽 = 𝛽 + 𝛼

6️⃣ Замкнутость умножения
∀ 𝛼, 𝛽 ∈ S,
(𝛼 * 𝛽) ∈ S

7️⃣ Ассоциативность умножения
∀ 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ S,
(𝛼 * 𝛽) * 𝛾 = 𝛼 * (𝛽 * 𝛾)

8️⃣ Нейтральный элемент для умножения
∃1 ∈ S такой что
∀𝛼 ∈ S, 1 * 𝛼 = 𝛼 * 1 = 𝛼

9️⃣ Дистрибутивность слева
∀ 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ S,
𝛼 * (𝛽 + 𝛾) = 𝛼 * 𝛽 + 𝛼 * 𝛾

1️⃣0️⃣ Дистрибутивность справа
∀ 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ S,
(𝛼 + 𝛽) * 𝛾 = 𝛼 * 𝛾 + 𝛽 * 𝛾

Не каждая горда птица дочитает все эти 10 требований целиком (но если у вас поставлен чайник, очень рекомендую это развлечение), поэтому тут нужен какой-то вспомогательный трюк. И он у нас есть! Если посмотреть внимательно на правила, во-первых почти все уже знакомы, а во-вторых, можно разглядеть знакомы почему:

1️⃣ Требования 1️⃣2️⃣3️⃣4️⃣ говорят нам о том что (S,+) это группа по сложению

2️⃣ Добавляем требование 5️⃣ про коммутативность делает группа по сложению абелевой

3️⃣ Требования 6️⃣7️⃣8️⃣ о том что (S,*) это почти группа с умножением. Не хватает только обратного элемента. Иногда такую структуру называют полугруппой (но не всегда, там такая таксономия, куда лучше без необходимости не лезть)

4️⃣ Требования дистрибутивности 9️⃣ и 1️⃣0️⃣ мы раньше не встречали (в этом телеграм канале), но они про правила игры с "двумя бинарными операциями сразу"

Получается, кольцо это тройка (S,+,*), причём
(S,+) — абелева группа по сложению,
(S,*) — это недогруппа по умножению, без требования обратного элемента
Дистрибутивность слева-справа

В таком духе это не так пугает, а само определение снова напоминает о кирпичах и о том, что для математики нужна последовательность и структурность. Такие типа олдскул гиперссылки получается

Как часто бывает (почти всегда в этой алгебре), эталоном подходят целые числа: (ℤ, +, ×) — кольцо. На палец не наденешь, зато не жмёт, а всевластие если и даёт то довольно призрачное. А ещё в мире колец нет развода, только дистрибутивность