Такая модульная арифметика программистам больше известна как «остатки от деления на», но это одно и то же.

Такая модульная арифметика программистам больше известна как «остатки от деления на», но это одно и то же. То, что программисты обозначат как a = x % 12, математики обозначают как x ≡ a (mod 12).
Словами русские панки-математики говорят "икс по модулю 12 это a", более аккуратные в выборе слов люди говорят что о сравнимости по модулю 12, англосаксы говорят о congruence, похожее англицизм я лично часто слышал и от русскоговорящих математиков. Штош

В всех случаях это означает что x-a делится на 12 нацело, то есть x-a = 12*n, где n — натуральное. Ну и, соответственно, x = a + 12*n, то есть a это остаток от деления x на 12.

Есть одно прикольное свойство, которое демонстрирует требования к кольцу, чтобы полноценно его доказать, тем самым показывая как правила из определения используются для доказательства в математике.

Теорема: Пусть x ≡ ξ (mod 12)
и y ≡ λ (mod 12),
тогда (x + y) ≡ (ξ + λ) (mod 12)
Словами: если икс по модулю двенадцать это кси, а игрек по модулю двенадцать это лямбда, то их сумма икс плюс игрек по модулю двенадцать будет равна кси плюс лямбда
<u>
Пруф</u>:
x ≡ ξ (mod 12) означает, что
x = 12k + ξ
(для некоторого целого k)

y ≡ λ (mod 12) означает, что
y = 12m + λ
(для некоторого целого m)

сложим x и y:
x + y = (12k + ξ) + (12m + λ)

из-за ассоциативности **сложения **можно переписать вот так:
x + y = 12k + (ξ + 12m) + λ

из-за коммутативности сложения теперь можно поменять местами элементы внутри скобок
x + y = 12k + (12m + ξ) + λ

снова применяем **ассоциативность сложения **и перебрасываем скобки
x + y = (12k + 12m) + ξ + λ

теперь нам нужна **дистрибутивность **слева и мы можем переписать всё ещё раз:
x + y = 12(k + m) + ξ + λ

так как целые числа **замкнуты **по сложению, k + m тоже какое-то целое и 12(k+m) делится на 12 без остатка, что нам позволяет уверенно сказать что
x + y ≡ (ξ + λ) (mod 12)

Вуаля! Мы только что использовали свойства кольца (ℤ, +, ×), чтобы доказать, что сложение по модулю работает так, как мы и ожидали. Надеюсь, теперь вы чувствуете себя немножко математическим волшебником, ведь вы застали наше с вами первое доказательство в этом канале ✨

Модульная арифметика — это не только сухая теория для скучных криптографов (извините, ребята!). Она окружает нас в повседневной жизни, от часов до календаря (дни недели — арифметика по модулю 7). Так что в следующий раз, когда кто-то спросит «А что, уже понедельник?», вы можете гордо ответить: «Нет, это просто результат операции (воскресенье + 1) mod 7». Правда, после этого вас могут перестать приглашать на тусовки... Ну или вы наверняка в своём окружении что-то похожее наблюдаете с вот этими людьми которые рассуждают про 45-е августа 🤭