Доказательства раунд 2 🥊 Алгоритм

Дальше немного капитанский очевидность алгоритм, который, правда, на удивление часто фигурирует у всяких помогающих специалистов — психологи любят спрашивать типа "о ты хочешь X? А что ты думаешь для этого нужно?", так и тут:

Доказываем самую неочевидную штуку из предыдущего поста

Если группа G с единичным элементом e такая что для любого g из G справедливо что g*g = e, то G — абелева.

Как будет выглядеть доказательство?

Ну, как-то так:

Пусть G — группа с единичным элементом e.
(дальше всё как в тумане)
Поэтому G — абелева.

немного напоминает туман войны в играх, не находите? Где-то посередине что-то происходит, потом мы приходим в финальный вывод. Главное — помнить что никакой магии нет, надо просто сделать этот путь чуть менее туманным. Фокус в том, что в этом, в принципе, и весь алгоритм.

Что там в середине в тумане? АБСОЛЮТНО НЕПОНЯТНО. Но мы можем записать что-то про абелеву группу? Для этого надо вспомнить что такое абелева группа (ах вот зачем надо помнить определения!)

Абелева группа коммутативна по своей бинарной операции. Других заметных свойств нет. То есть предпоследняя строчка скорее всего выглядит как-то так

∀ 𝛼, 𝛽 ∈ G, 𝛼 * 𝛽 = 𝛽 * 𝛼
Но у нас пока нет никаких ни 𝛼 ни 𝛽. Значит, где-то раньше их надо ввести. Получается, мы немного рассеиваем туман и получается что-то такое:

Пусть G — группа с единичным элементом e.
Возьмём 𝛼, 𝛽 ∈ G
(туман, где мы что-то делаем)
Поэтому, ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ G, 𝛼 * 𝛽 = 𝛽 * _𝛼 _
Поэтому G — абелева.

Пост начинает расти, а мысль уже понятна — вот так, шаг за шагом, туман и надо рассеивать. То есть, главное —

1️⃣ делать шаги в оба направления (и возвращаться обратно к развилкам, если зайдём в тупик), и
2️⃣ делать это с двух сторон

И можно сказать, что то, чему учит математика высшей школы — это именно развеивать такие туманы. Почему-то она предпочитаем об этом явно не говорить, но вообще это довольно опьяняющее ощущение, когда из полной неопределённости постепенно проступают очертания решения. Как в тех же стратегиях — сначала видишь только свою базу и финальную цель, а разведка постепенно показывает, что там между ними.

А дальше добью это доказательство, чтобы на примере показать, как именно разведать эту территорию и найти путь через туман. А пока - главное запомнить: никакой магии в доказательствах нет, просто методичная работа по прояснению картины 🎯 Почему-то мне от этой мысли проще и комфортнее, надеюсь и вам тоже.