Доказательства, раунд 3 🥊 добиваем туман

этот раунд технический, надеюсь вы пройдётесь по нему со мной до конца этого поста 🤭

Для полноты добьём это конкретное доказательство, чтобы скрасить ваш день и заодно зафиксировать 🚂🚃🚃 поезда моей мысли. На чём мы там в прошлый раз остановились?**
**> Пусть G — группа с единичным элементом e.>

Возьмём 𝛼, 𝛽 ∈ G
(туман, где мы что-то делаем)
Поэтому, ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ G, 𝛼 * 𝛽 = 𝛽 * 𝛼
Поэтому G — абелева.
Вот у меня это то место на котором я бы точно застрял на какое-то заметное время и смотрел непонимающе на бумажку. Фокус в том чтобы всопмнить что вообще полное условие выглядит точнее:
Пусть G — группа с единичным элементом e,
причём ∀ g ∈ G верно g*g = e.

Ага! Тот случай когда посмотреть в условие оказалось полезно (опять). У меня обычно есть какая-то внутренняя stubborness из-за которой я обычно тяну с тем чтобы перечитать условие. Видимо, не хочется самому себе показывать что я вёл себя как невнимательный дурачок. В этом случае это добавка может нам помочь.

Коммутативность, которую мы доказываем, означает, что 𝛼 * 𝛽 = 𝛽 * 𝛼. Выстроить это с конца в начало проще, потому что оттуда как будто меньше вариантов. В группе должны быть ещё обратные элементы, давайте использовать и это и домножим обе части слева сначала на 𝛽⁻¹

𝛼 * 𝛽 = 𝛽 * 𝛼
📝 𝛽⁻¹ * 𝛼 * 𝛽 = 𝛽⁻¹ * 𝛽 * 𝛼
📝_ 𝛽⁻¹ * 𝛼 * 𝛽 = 𝛼_
Чёто пока ничего полезного. В этот момент я такой "а что если ещё и 𝛼⁻¹ ебануть с двух сторон но тоже слева, чё мы теряем в конце концов?"

𝛽⁻¹ * 𝛼 * 𝛽 = 𝛼
📝_ 𝛼_⁻¹ * 𝛽⁻¹ * 𝛼 * 𝛽 = 𝛼⁻¹ * 𝛼
📝_ 𝛼_⁻¹ * 𝛽⁻¹ * 𝛼 * 𝛽 = e

Пока тоже ничего, какое-то мутное выражение, но если бы это были шарады я бы сделал здесь жест "полжоить в карман", самое время. С другой стороны, а какое у нас там было условие опять таки?.
И вот ты такой, а что на самом деле значит наша добавка
∀ g ∈ G верно g*g = e.
А это значит что любой элемент является своим же обратным элементом. Если это не очевидно, подумайте почему и ныряйте под спойлер чтобы проверить свои догадки:
так как и g*g = e (наше доп. условие) и g⁻¹ * g = e (так "работают" обратные элементы) то g = g⁻¹

Тут вообще говоря в отдельный (потенциально очень глубокий чулан) можно пойти придумать такую конечную группу, но это как раз то куда сейчас идти не надо, потому что там интересно, но отвлечёт нас от основной сути. И в этом вторая приколюха прокачки доказательств — учишь себя не распыляться. Основная суть сейчас:

Из того что _𝛼 * 𝛽 _ = _𝛽 * 𝛼 мы простыми честными преобразованиями получили вот такое: _
𝛼⁻¹ * 𝛽⁻¹ * 𝛼 * 𝛽 = e
А с учётом нашего условия что каждый элемент в нашей группе сам себе обратный можно дропнуть эти минусединички:

📝_ 𝛼_ * _𝛽 * 𝛼 * 𝛽 = e

И теперь шлёпаем сверху ассоциативность чтобы нам было виднее что тут где
📝 (𝛼_ * 𝛽) * (𝛼 * 𝛽) = e
_ _
Так и 𝛼 и 𝛽 из нашей группы G, то из-за замкнутости 𝛼 * 𝛽 будут тоже из G. И наши выкладки привели нас к тому что
Из_ 𝛼_ * 𝛽 = 𝛽 * 𝛼 мы "пришли" к
📝 (𝛼 * 𝛽) * (𝛼 * 𝛽) = e
Все наши преобразования были легальными честными, поэтому теперь надо попробовать развернуть их обратно и записать всё, заменяя туман войны аккуратно "разворачивая" всё обратно:

Доказательство
Пусть_ G_ — группа с единичным элементом e и такая что g * g = e.
Условия значит что ∀ g ∈ G, g = g⁻¹🟢
Возьмём 𝛼, 𝛽 ∈ G.
Замкнутость даёт нам (𝛼 * 𝛽) ∈ G
Тогда из условия, (𝛼 * 𝛽) * (𝛼 * 𝛽) = e
📝 𝛼 * 𝛽 * 𝛼 * 𝛽 = e
📝_ 𝛼_⁻¹ * 𝛼 * 𝛽 * 𝛼 * 𝛽 = 𝛼⁻¹
📝 𝛽 * 𝛼 * 𝛽 = 𝛼⁻¹
📝 𝛽⁻¹ * 𝛽 * 𝛼 * 𝛽 = 𝛽⁻¹ * 𝛼⁻¹
📝 𝛼 * 𝛽 = 𝛽⁻¹ * 𝛼⁻¹
📝 𝛼 * 𝛽 = 𝛽 * 𝛼 🟢
Поэтому, ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ G, 𝛼 * 𝛽 = 𝛽 * 𝛼
Поэтому G — абелева. УРА

Я подсветил точкой🟢 то место, где мы воспользовались новым знанием про условие, остальная часть развеивания тумана — переписанные условия. На каждом шаге ме делаем честный шаг в нужную сторону, потихоньку рассеивая неопределённость.

Самое забавное это поймать вот это ощущение что "нет, стоп, доказательство и не нужно получается, всё и так очевидно". Оно не всегда приходит, но когда приходит, надо его ловить и ценить, очень советую.

Так, тут я сворачиваюсь, спасибо всем кто дочитал до конца поста. Поздравьте себя с днём рождения Лобачевского, оно как раз 1 декабря!